Orientacion en un plano

Orientacion en un plano

Orientación en matemáticas

Más concretamente, se refiere a la rotación imaginaria que se necesita para mover el objeto desde una colocación de referencia hasta su colocación actual. Una rotación puede no ser suficiente para alcanzar la ubicación actual. Puede ser necesario añadir una traslación imaginaria, llamada ubicación del objeto (o posición, o posición lineal). La ubicación y la orientación describen completamente cómo se coloca el objeto en el espacio. Se puede pensar que la rotación y la traslación imaginarias mencionadas ocurren en cualquier orden, ya que la orientación de un objeto no cambia cuando se traslada, y su ubicación no cambia cuando gira.

El teorema de la rotación de Euler muestra que en tres dimensiones se puede alcanzar cualquier orientación con una sola rotación alrededor de un eje fijo. Esto da una forma común de representar la orientación utilizando una representación eje-ángulo. Otros métodos muy utilizados son los cuaterniones de rotación, los ángulos de Euler o las matrices de rotación. Otros usos más especializados son los índices de Miller en cristalografía, el rumbo y el buzamiento en geología y el grado en mapas y señales.

Orientacióngeometría

Esta pregunta surgió hace poco en el trabajo y no pude encontrar una buena respuesta en Internet. Para los fines de este artículo, utilizaré los términos orientación y rotación tal y como se utilizan en la infografía; puede que no sean las mismas definiciones a las que estás acostumbrado.

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Creo que la última es la que más se acerca. En el caso bidimensional, la respuesta es fácil: una orientación es un elemento de \(SO(2)\N-(SO(2)\N) (es decir, confusamente, una matriz de rotación), mientras que una rotación también viene equipada con un número de giro alrededor del origen. Si queremos, podemos identificar las orientaciones del espacio 2D con elementos del círculo \(S^1\) y las rotaciones con números reales. Entonces tenemos una función continua \(\lambda\) de rotaciones a orientaciones dada por \(\lambda(x) = e^{2\pi i x}\).

Este mapa continuo \(\lambda\) tiene una propiedad importante: es un mapa de cobertura. Esto significa que si \(z\) es alguna orientación, entonces hay alguna vecindad abierta \(U\) de \(z\) tal que \(\lambda\inv U\) es la unión de conjuntos abiertos disjuntos, cada uno mapeado homeomórficamente en \(U\) por \(\lambda\). Esto significa que si \(x\) es una rotación, y modificamos la orientación correspondiente \(\lambda(x)\) muy ligeramente, para obtener una orientación $w$ entonces podemos obtener una rotación modificada correspondiente \(y\) tal que \(\lambda(y) = w\).

Wikipedia

¿Cómo puedo definir un plano mediante los ejes x, y y z? de lo contrario, el eje z se mostrará hacia arriba o hacia abajo siguiendo probablemente el sistema de coordenadas de la izquierda… pero como necesito sistemas de coordenadas reflejados (tanto de la derecha como de la izquierda) con un eje z predefinido (que ya existe), un comando para definir los tres ejes sería muy útil.

No se puede definir el eje z de un plano en la creación porque el propio Rhino no lo permite. El eje z se crea automáticamente a partir del producto cruzado de los vectores x e y e invierte ese vector (si es necesario) para crear un sistema de coordenadas a la derecha, ya que Rhino siempre quiere considerar los planos como diestros.

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Lo mejor que se puede hacer es invertir manualmente el vector z del plano dentro de un componente de script. Sin embargo, parece que a Rhino no le gusta esto. La definición adjunta tiene ese componente de scripting y lo introduce en una transformación de base de cambio. Con el plano YZ predeterminado, GH parece reorientar el punto suministrado (que representa la dirección z) sin problemas, sin embargo, con el plano «invertido» el componente de cambio de base parece ahogarse. Probé esto con un plano más arbitrario, y los resultados fueron los mismos.

Ejemplo de matemáticas de orientación

La orientación sólo tiene sentido aquí con respecto a las bases ordenadas. Las bases ordenadas se dividen en dos clases de equivalencia según el signo de los determinantes de las matrices de cambio de base entre ellas. Cada clase está formada por todas las bases ordenadas que están relacionadas por una matriz de cambio de base con determinante positivo. (No siempre se puede utilizar el determinante de la matriz de vectores base, ya que puede que no se esté hablando de todo el espacio padre, esa matriz no siempre será cuadrada). Decimos que todas las bases de una clase tienen la misma orientación, pero cuál de las dos orientaciones es «positiva», «diestra» o el término que se quiera utilizar es una elección arbitraria que puede hacerse en función de otros factores extrínsecos a esta división.

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Cuando se fija una orientación, se elige una de estas clases de equivalencia para que sea la «positiva». En la práctica, esto supondrá elegir un miembro de la clase como base de «referencia». A continuación, se puede comparar la orientación de cualquier otra base ordenada con esa examinando el determinante de la matriz de cambio de base o, si estas bases abarcan todo el espacio padre, comparando los signos de los determinantes de las matrices formadas a partir de los vectores base.